5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

Extremos de una función

Extremos de una función.

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Extremos relativos o locales

Sea

f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}

, sea

x_0 \in A

y sea

P=\,(x_0, f(x_0))

un punto perteneciente a la función.

Se dice que

P

es un máximo local de

f

si existe un entorno reducido de centro

x_0

, en símbolos

{E'(x_0)}

, donde para todo elemento

x

{E'(x_0)}

se cumple

f(x) \le f(x_0)

. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse

f(x) < f(x_0)

Análogamente se dice que el punto

P

es un mínimo local de

f

si existe un entorno reducido de centro

x_0

, en símbolos

{E'(x_0)}

, donde para todo elemento

x

{E'(x_0)}

se cumple

f(x) \ge f(x_0)

Extremos absolutos

Sea

f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R}

, sea

x_0 \in A

y sea

P=\,(x_0, f(x_0))

un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de

x_0

pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de

x_0

. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0))

máximo absoluto de

f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x)

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de

x_0

perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de

x_0

. Esto es:

P\,(x_0, f(x_0))

mínimo absoluto de

f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x)

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.

Objetivo de la Unidad V:

. El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las disciplinas económico-administrativas.

5.1 Función creciente y decreciente.

Una función

f

es creciente es un intervalo si para cualquier par de números

x 1, x 2

del intervalo. $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ .
Una fución

f

es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números

x 1, x 2

del intervalo, $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ .

Sea f una función continua con ecuación

y = f (x)

, definida en un intervalo

[a, b]

. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo

[a, b]

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos

(a, x 3),(x 5, x 6)

2.) Decreciente en los intervalos

(x 3, x 5),(x 6, b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea

f

una función continua en el intervalo cerrado $\left [ a,b\right ]$ y derivable en el intervalo abierto $\left (a,b\right )$ .

Si ${f}'(x)>0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f$ es creciente en $\left [ a,b \right ]$
Si ${f}'(x)<0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f$ es decreciente en $\left [ a,b \right ]$
Si ${f}'(x)=0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f$ es constante en $\left [ a,b \right ]$

Resumen de la Unidad V

En esta unidad estudiamos las técnicas de optimización y realizamos diversas gráficas para observar el comportamiento de cada una de ellas si crecían o decrecían y al mismo tiempo observar los extremos si eran relativos o absolutos.

4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

4.6 Diferenciales.

En matemática, el término diferencial posee varios

significados:

En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa un cambio en la linearización de una función.
Tradicionalmente, el diferencial (ej. dx, dy, dt etc...) es interpretado como un infinitesimal.
La diferencial jacobiana cuyas componentes son las derivadas parciales de una función de forma Rⁿ en R^m (especialmente cuando esta matriz es vista como una aplicación lineal).
Geometría diferencial
- Las formas diferenciales proveen un marco de trabajo que permite multiplicación y derivación de diferenciales.
- La derivada exterior es una noción de derivación de formas diferenciales que generaliza el diferencial de una función (la cual es un diferencial 1-forma).
- La aplicación diferencial tangente o pushforward se refiere a la derivada de una aplicación entre variedades diferenciablesy las operaciones que define. El diferencial es también usado para definir el concepto dual de pullback

4.5 Derivadas de orden superior.

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.