5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada. 

Concavidad y puntos de inflexión

La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

	Definición  de concavidad
	Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A,, si  es creciente sobre A. Si  es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada  la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo  y cóncava hacia abajo en el intervalo 

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función  es convexa en un intervalo abierto que contiene a , y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a  y  debe ser un máximo relativo de .

Teorema

Sea  una función tal que  y la segunda derivada de  existe en un intervalo abierto que contiene a 

1. Si , entonces  tiene un máximo relativo en .
2. Si , entonces  tiene un mínimo relativo en .

Si , entonces el criterio falla. Esto es,  quizás tenga un máximo relativo en , un mínimo relativo en  o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.