Qlau Herrera

Unidad II. Límites y continuidad.

Objetivo:

El alumno comprenderá la noción de límite y de continuidad de una función; las propiedades de los límites y los casos especiales de los límites. Aprenderá a calcular el límite de una función.

2.1 Definición de límite.

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

1 Límite de una sucesión
2 Límite de una función
- 2.1 Importancia
- 2.2 Límites laterales
3 Límite de una sucesión de conjuntos
Límite de una sucesión
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto $L$ , si existe, para valores grandes de $n$ . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ tiende a $\infty$ .

Formalmente, se dice que la sucesión $a_n$ tiende hasta su límite $L$ , o que converge oes convergente (a $L$ ), y se denota como:

$\lim_{n\to\infty}a_n = L$

si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural

N

tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural

n

mayor que

N

converjan a

L

cuando

n

crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

$a_n \to L \Leftrightarrow$ $\forall\varepsilon>0, \exists N>0 : \forall n > N, |a_n - L|<\varepsilon$

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función.¹ Esto se puede generalizar aún más afunciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim_{x\to c} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Importancia

El concepto de límite es importante en análisis matemático; una herramienta básica para definir la derivada e integral definida, la existencia de número real al definir por un sistema de intervalos encajados, la potencia real de un real positivo. El plurimilenario caso de π, genial creatura de Arquímedes.

Límites laterales

Además del límite ordinario en el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El límite por la derecha (cuando existe) es el límite de la sucesión:

$L^+(c) = \lim_{n \to \infty} \, f(c+1/n)$

Análogamente el límite por la izquierda (cuando existe) es:

$L^-(c) = \lim_{n \to \infty} \, f(c-1/n)$

para una función continua en c se tiene que

L^+(c) = L^-(c)

Límite de una sucesión de conjuntos

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera

A_n

, se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

$\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n = {\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right) \le \lim_{n\rightarrow\infty}A_n \le \limsup_{n\rightarrow\infty}A_n = {\bigcap_{n=1}^\infty} \left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right)$

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:

$\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n < \limsup_{n\rightarrow\infty}A_n$

Resumen de la unidad II

Bueno pues en la unidad dos aprendimos sobre los límites de las funciones, sus propiedades, aprendí que se dice que un límite existe si y solo si cuando el valor del lado izquierdo tiende a ser el mismo valor del lado derecho