domingo, 24 de mayo de 2015

Mide la variación relativa o porcentual que experimenta la cantidad demandada como consecuencia de una variación en el precio de un uno por ciento, en otras palabras mide la intensidad con la que responden los compradores a una variación en el precio.

Expresión matemática

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera, siendo:

E_d

la elasticidad,

Q_d

la cantidad demandada y

P

el precio:

$E_d = \frac{\%\ \mbox{Variación porcentual en la cantidad demandada}}{\%\ \mbox{Variación porcentual en el precio}} = \frac{\Delta Q_d/Q_d}{\Delta P/P}$

La elasticidad de la demanda es el grado en que la cantidad demandada (Q), responde a las variaciones de precios (P) del mercado. En este caso, dados unos precios (P) y unas cantidades (Q) y un (P * Q) = Ingreso, tenemos que:

- Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente tanto que la multiplicación de (P * Q) sea mayor a la original, se presenta una demanda elástica.E>1

- Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente en proporciones iguales y (P * Q) sea igual, la elasticidad es proporcional o igual a 1.

- Cuando la reducción del precio (P) hace que la cantidad demandada (Q) aumente muy poco o nada que la multiplicación de (P * Q) es menor a la original, se afirma que la demanda de un bien es inelástica o rígida. E<1

ELASTICIDAD DEL INGRESO

La elasticidad ingreso de la demanda , llamada a veces elasticidad demanda-renta, mide cómo afectan las variaciones de la renta o ingresos de los consumidores a la cantidad demandada de un bien. Elcoeficiente de elasticidad ingreso de la demanda e I se calcula dividiendo la variación porcentual de la demanda por la variación porcentual de la renta.

5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.

Los problemas de optimización se expresan a menudo con una notación especial. A continuación se muestran algunos ejemplos.

Mínimo y Máximo valor de una función

Considere la siguiente notación:

\min_{x\in\mathbb R}\; (x^2 + 1)

Esta denota el valor mínimo de la función objetivo

x^2 + 1

, cuando x se selecciona del conjunto de números reales

\mathbb R

. El valor mínimo en este caso es

1

y ocurre para

x = 0

De modo similar, la notación

\max_{x\in\mathbb R}\; 2x

pregunta por el valor máximo de la función objetivo 2x, cuando x puede ser cualquier número real. En este caso, no existe tal máximo si la función objetivo es infinita, luego la respuesta es "infinito"o "indefinido".

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.

Concavidad y puntos de inflexión

La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:

	Definición de concavidad
	Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$ , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

Note que es la función derivada

la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo

y cóncava hacia abajo en el intervalo

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función

f

es convexa en un intervalo abierto que contiene a

c

, y

f '(c)=0, f(c)

debe ser un mínimo relativo de

f

. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a

c

f '(c) = 0, f(c)

debe ser un máximo relativo de

f

Teorema

Sea $f$ una función tal que $f '(x) = 0$ y la segunda derivada de $f$ existe en un intervalo abierto que contiene a $x$

Si $f ''(x) < 0$ , entonces $f$ tiene un máximo relativo en $(x, f(x))$ .
Si $f ''(x) > 0$ , entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $(x, f(x))$ .

f ''(x) = 0

, entonces el criterio falla. Esto es,

f

quizás tenga un máximo relativo en

x

, un mínimo relativo en

(x, f(x))

o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Se llama Criterio de la primera derivada al método

o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo

matemático para determinar losmínimos y máximos

relativos que pueden existir en una función mediante el uso

de la primera derivada o derivada principal, donde se

observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado

que contiene al punto crítico

c

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea $c$ un punto crítico de una función $f$ que es continua en

un intervalo abierto $I$ que contiene a $c$ . Si $f$ es derivable en

el intervalo, excepto posiblemente en $c$ , entonces $f(c)$ puede

clasificarse como sigue."

1. Si

f

(x)

cambia de positiva a negativa en

c

, entonces

f

tiene un máximo relativo en

(c, f(c))

2. Si

f

(x)

cambia de negativa a positiva en

c

, entonces

f

tiene un mínimo relativo en

(c, f(c))

3. Si

f

(x)

es positiva en ambos lados de

c

o negativa en ambos lados de c, entonces

f(c)

no es ni un mínimo ni un máximo relativo.